曲面上分部积分公式
Last updated: Jun 16, 2020 |
Publish date: May 28, 2020
曲面上分部积分公式, 用于推到曲面微分方程的弱形式. 这里基于曲面的参数化表示给出证明.
预备公式
我们首先给出如下定理的证明.
假设 $\Gamma$ 为光滑有向曲面. 令 $\kappa$ 为 $\Gamma$ 的和曲率 (Summed curvature), 则有
\begin{equation}
\int_\Gamma \nabla_\Gamma f = \int_\Gamma f \kappa \bm\nu + \int_{\partial\Gamma} f \bm\mu.
\end{equation}
其中 $\bm\nu$ 为法向量, $\bm\mu$ 为边界的外法向量. 若 $\Gamma$ 为闭曲面, 则边界项为 0.
假设曲面 $\Gamma$ 的参数化表示为 $\bm X: U \subset \mathbb{R}^{n} \to \Gamma \subset \mathbb{R}^{n+1}$,
那么第一基本形式对应的矩阵为 $G = (\nabla \bm X)^T \nabla \bm X $.
本文 $\nabla$ 看作行向量, $\bm X$ 看作列向量.
根据定义
\begin{align}
\nabla_\Gamma f \circ \bm X &= \sum_{ij} g^{ij}\partial_{s_i}\tilde f \partial_{s_j} \bm X, % = \nabla \bm X G^{-1} \nabla f,
\label{eq:gradient}\\
\Delta_\Gamma f \circ \bm X &= \frac{1}{\sqrt{\det(G)}} \sum_{ij} \partial_{s_j}
\Big( \sqrt{\det(G)} g^{ij}\partial_{s_i}\tilde f \Big), \\
\Delta_\Gamma \,\text{id}_\Gamma &= - \kappa \bm\nu. \label{eq:id}\\
\end{align}
关于 \eqref{eq:id} 的证明我们先略过.
假设 ${\bm q}_n = (q_1, q_2, \cdots, q_n)^T$ 是 $\partial U$ 的外法向量.
使用 \eqref{eq:gradient} – \eqref{eq:id} 以及分部积分公式可得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_\Gamma \nabla_\Gamma f &= \int_U\sqrt{\det(G)} \sum_{ij} g^{ij} \partial_{s_i}\tilde f \partial_{s_j} \bm X \\
&= -\int_U \tilde f \sum_{ij} \partial_{s_i} \Big(\sqrt{\det(G)} g^{ij} \partial_{s_j} \bm X \Big)
+ \int_{\partial U} \tilde f \sqrt{\det(G)} \sum_{ij} g^{ij} \partial_{s_j} \bm X q_i \\
& = -\int_U \tilde f \sqrt{\det(G)} \Delta_\Gamma\,\text{id}_\Gamma \circ \bm X + \int_{\partial U} \tilde f \sqrt{\det(G)} \sum_{ij} g^{ij} \partial_{s_j} \bm X q_i \\
& = \int_\Gamma f \kappa \bm\nu + \int_{\partial U} \tilde f \sqrt{\det(G)} \sum_{ij} g^{ij} \partial_{s_j} \bm X q_i \\
& = \int_\Gamma f \kappa \bm\nu + \int_{\partial U} \tilde f \sqrt{\det(G)} \bm p \\
\end{aligned}
\label{eq:abc}
\end{equation}
其中
$$\bm p = \sum_{ij} g^{ij} \partial_{s_j} \bm X q_i = \nabla \bm X G^{-1} \bm q_n.$$
令 $\bm q_i$ $(i = 1, \cdots, n-1)$ 和 $\bm q_n$ 组成 $\bm R^n$ 的一组单位正交基, 那么 ${ \bm q_i (i = 1, \cdots, n-1)}$ 张成 $\partial U$
的切空间.
对于 $\partial U$ 中的任意曲线 $\bm\alpha(t)$, 有 $\bm X(\bm\alpha(t))$ 为 $\partial \Gamma$ 中的曲线. 若假设 $\alpha'(t) = \bm q_i, (i< n)$,
则其对应的曲面上曲线的切向量为
\begin{equation}
\nabla \bm X \bm \alpha'(t) = \nabla \bm X \bm q_i
\end{equation}
显然, $$ \bm p \perp \nabla \bm X \bm q_i, \quad i < n.$$
故 $\bm p$ 在 $\Gamma$ 的切空间中且与 $\partial \Gamma$的外法线方向同向, 这是因为
$\bm p$ 和 $\nabla \bm X\bm q_n$ 之间的夹角为锐角, 且 $\nabla \bm X\bm q_n$ 指向区域外部.
下面我们计算 $ \sqrt{\det(G)}\bm p$ 的长度.
令 $ Q = (\bm q_1, \bm q_2, \cdots, \bm q_{n-1})$, $\tilde Q = (Q, \bm q_n)$, 则有 $\tilde Q$ 为正交矩阵, 且有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\bm q_n \bm q_n^T + QQ^T = I,\\
\det (G) = \det(\tilde Q^T G \tilde Q). \\
\end{aligned}
\end{equation}
另外, 由于
\begin{equation}
|\bm p|^2 = \bm q_n^T G^{-1} \bm q_n
\end{equation}
和
\begin{align}
\tilde Q^T G \tilde Q = \left(
\begin{array}{cc}
Q^T G Q & Q^T G \bm q_n\\
\bm q_n^T G Q & \bm q_n^T G \bm q_n \\
\end{array}
\right)
\end{align}
我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det (G) |\bm p|^2 &= \left|
\begin{array}{cc}
Q^T G Q & Q^T G \bm q_n\\
\bm q_n^T G Q & \bm q_n^T G \bm q_n \\
\end{array}
\right| |\bm p|^2 \\
&= \left|
\begin{array}{cc}
Q^T G Q & Q^T G \bm q_n |\bm p|^2\\
\bm q_n^T G Q & \bm q_n^T G \bm q_n |\bm p|^2 \\
\end{array}
\right| \\
&= \left|
\begin{array}{cc}
Q^T G Q & Q^T G \bm q_n \bm q_n^T G^{-1} \bm q_n \\
\bm q_n^T G Q & \bm q_n^T G \bm q_n \bm q_n^T G^{-1} \bm q_n \\
\end{array}
\right|\\
&= \left|
\begin{array}{cc}
Q^T G Q & - Q^T G QQ^T G^{-1} \bm q_n \\
\bm q_n^T G Q & 1 - \bm q_n^T G QQ^T G^{-1} \bm q_n \\
\end{array}
\right|
\end{aligned}
\end{equation}
显然存在向量 $\bm c$ 满足 $(Q^T G Q)^T \bm c = (\bm q_n^T GQ)^T$. 那么对上式做行变换 (前 $n-1$ 行乘以系数加在最后一行上) 可得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det (G) |\bm p|^2 &= \left|
\begin{array}{cc}
Q^T G Q & - Q^T G QQ^T G^{-1} \bm q_n \\
\bm 0^T & 1 \\
\end{array}
\right| \\
&= \det (Q^T G Q)
\end{aligned}
\end{equation}
这里 $\sqrt{\det (Q^T G Q)}$ 恰好是参考区域边界微元到曲面 $\Gamma$ 边界上微元变换的面积比, 所以有
\begin{equation}
\sqrt{\det(G)}\bm p = \sqrt{\det (Q^T G Q)} \bm\mu,
\end{equation}
故, 结论
\begin{equation}
\int_\Gamma \nabla_\Gamma f = \int_\Gamma f \kappa \bm\nu + \int_{\partial\Gamma} f \bm\mu,
\end{equation}
成立.
分部积分公式
根据前面的结论, 对于向量函数 $\bm\phi: \Gamma \to \mathbb{R}^n $, 有
\begin{equation}
\int_\Gamma \nabla_\Gamma \bm\phi = \int_\Gamma \kappa \bm\nu\otimes\bm\phi + \int_{\partial\Gamma} \bm\mu\otimes\bm\phi,
\end{equation}
和
\begin{equation}
\int_\Gamma \nabla_\Gamma \cdot \bm\phi = \int_\Gamma \kappa \bm\nu\cdot\bm\phi + \int_{\partial\Gamma} \bm\mu\cdot\bm\phi.
\end{equation}
由于
\begin{equation}
\nabla_\Gamma \cdot (\phi \nabla_\Gamma \eta) = \nabla_\Gamma \phi \cdot \nabla_\Gamma \eta + \phi \Delta_\Gamma \eta,
\end{equation}
可以得到分部积分公式
\begin{equation}
\int_\Gamma \nabla_\Gamma \phi \cdot \nabla_\Gamma \eta = \int_\Gamma \phi \Delta_\Gamma \eta
+ \int_{\partial\Gamma} \phi\bm\mu\cdot\nabla_\Gamma \eta.
\end{equation}
至此结论得证.